Метод зейделяСтраница 1
Одним из способов решения сеточных уравнений является итерационный метод Зейделя.
Пусть нам дана система линейных уравнений :
AU
=
f
или в развёрнутом виде :
M
a
ij
U
j
= f
i
, i=1,2 .M
i=1
Итерационный метод Зейделя в предположении что диагональные элементы матрицы А=(
a
ij
)
отличны от нуля (
a
ii
<>0
)
записывается в следующем виде :
i (k+1)
M
(k)
a
ij
Y
j
+ a
ij
Y
j
= f
i
, i=1,2 .M
j
=1
j
=
i
+1
(
k
)
где Y
j
- j
ая компонента итерационного приближения номера k
. В качестве начального приближения выбирается произвольный вектор.
Определение (
k
+1)
-ой итерации начинается с i
=1
(k+1) M (k)
a
11
Y
1
= - a
1j
Y
j
+f
1
j
=2
(
k
+1)
Так как a
11
<>0
то отсюда найдём Y
1
. И для i
=2
получим :
(
k
+1
)
(
k
+1)
M
(
k
)
a
22
Y
2
= - a
21
Y
1
- a
2j
Y
j
+ f
2
j=3
(
k
+1) (
k
+1) (
k
+1)
(
k
+1
)
Пусть уже найдены Y
1
, Y
2
. Y
i
-1
. Тогда Y
i
находится из уравнения :
(k+1) i-1 (k+1) M (k)
a
ii
Y
i
= - a
ij
Y
j
- a
ij
Y
j
+ f
i
(*)
j
=1
j
=
i
+1
Из формулы (*)видно , что алгоритм метода Зейделя черезвычайно прост. Найденное по формуле (*)значение Y
i
размещается на месте Y
i
.
Оценим число арифметических действий, которое требуется для реализации одного итерационного шага. Если все a
ij