По мнению Пифагора, совершенство числа зависит от его делителей (т. е. тех чисел, которые делят без остатка исходное число). Например, делителями числа 12 являются 1, 2, 3, 4, и 6. Если сумма делителей числа больше самого числа, то такое число называется «избыточным». Например, 12 — избыточное число, так как сумма его делителей равна 16.

С другой стороны, если сумма делителей числа меньше самого числа, то такое число называется «недостаточным». Например, 10 — недостаточное число, так как сумма его делителей (1, 2 и 5) равна лишь 8.

Числа, сумма делителей которых в точности равна самому числу, пифагорейцы считали особенно важными. Такие числа они называли совершенными. Например, число 6 имеет делителями 1, 2 и 3 и, следовательно, совершенно, так как 1+2+3 = 6. Следующее совершенное число равно 28, так как

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Совершенный характер чисел 6 и 28, имевший столь большое математическое значение для пифагорейцев, был признан и другими культурами, обратившими внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли каждые 28 дней, и утверждавшими, что Бог сотворил мир за 6 дней.

В сочинении «Град Божий» Св. Августин высказал мысль о том, что хотя Бог мог сотворить мир в одно мгновенье, Он предпочел сотворить его за 6 дней, дабы поразмыслить над совершенством мира. По мнению Св. Августина, число 6 совершенно не потому, что Бог избрал его, а потому, что совершенство внутренне присуще природе этого числа. «Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил все сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил все сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней».

По мере того, как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются все реже. Третье совершенное число 496, четвертое — 8 128, пятое — 33 550 336, шестое — 8 589 869 056. Пифагор заметил, что совершенные числа не только равны сумме своих делителей, но и обладают некоторыми другими изящными свойствами. Например, совершенные числа всегда равны сумме нескольких последовательных натуральных чисел. В самом деле,

6 = 1 + 2 + 3,

28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7,

496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + … + 30 + 31,

8128 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + … + 126 + 127.

Пифагор забавлялся совершенными числами, но не довольствовался одним лишь коллекционированием таких чисел. Он мечтал открыть их более глубокое значение. Одно из его открытий состояло в том, что совершенство чисел тесно связано с «двоичностью». Числа 4=2·2, 8=2·2·2, 16=2·2·2·2 и т. д. называются степенями числа 2 и могут быть представлены в виде 2n , где n означает число перемноженных двоек. Все степени числа 2 чуть-чуть «не достают» до того, чтобы стать совершенными, так как сумма их делителей всегда на единицу меньше самого числа. Иначе говоря, все степени двойки слегка недостаточны:

22 = 2·2 = 4

, делители 1, 2, сумма 3

,

23 = 2·2·2 = 8

, делители 1, 2, 4, сумма 7

,

24 = 2·2·2·2 = 16

, делители 1, 2, 4, 8, сумма 15,