Например, некоторое число входит в закономерность, которой подчиняются длины рек. Профессор Ханс-Хенрик Стоун, специалист по физике Земли из Кембриджского университета, вычислил отношение между истинной длиной реки от истока до устья и расстоянием «по прямой», как могла бы лететь птица. И хотя это отношение варьируется от реки к реке, его среднее значение лишь немногим больше 3, т. е. истинная длина реки примерно в 3 раза больше расстояния от источников до устья по прямой.

В действительности это отношение примерно равно 3,14, что близко к значению числа π — отношению длины окружности к ее диаметру. Число π первоначально возникло в геометрии окружностей, но появляется снова и снова при самых различных обстоятельствах во многих разделах науки.

Например, появление числа π в отношении истинной длины реки от истоков до устья к расстоянию от ее истоков до устья по прямой — результат борьбы между порядком и хаосом. Эйнштейн первым высказал предположение о том, что реки имеют тенденцию ко все более извилистому руслу, так как малейшее искривление русла приводит к ускорению течения у «наружного» берега, что в свою очередь приводит к ускорению эрозии берега и увеличению крутизны поворота. Чем круче поворот, тем быстрее течение у «наружного» берега; чем быстрее течение, тем сильнее эрозия; чем сильнее эрозия, тем круче поворот реки, и т. д.

Однако, существует в природе процесс, который укрощает хаос: увеличение извилистости русла приводит к появлению петель и, наконец, к «короткому замыканию» русла: река спрямляет русло, а замкнутая петля, оставшаяся в стороне от русла, становится старицей. Баланс между этими двумя противоположными факторами приводит к близкому к π среднему значению отношения истинной длины реки и расстоянием между истоками и устьем по прямой. Отношение равное π чаще всего встречается у рек, текущих по равнинам с очень слабым уклоном. Таковы, например, реки Бразилии и Сибири.

Пифагор понял, что всюду, от гармонии в музыке до планетных орбит, скрыты числа, и это открытие позволило ему сформулировать афоризм: «Все сущее есть Число». Постигая смысл и значение математики, Пифагор разрабатывал язык, который позволил бы и ему самому, и другим описывать природу Вселенной. С тех пор каждое существенное продвижение в математике давало ученым словарь, необходимый для лучшего объяснения явлений в окружающем мире. Не будет преувеличением сказать, что успехи математики порождали коренные сдвиги в естествознании.

Исаак Ньютон был не только открывателем закона всемирного тяготения, но и выдающимся математиком. Его величайшим вкладом в математику стало создание математического анализа — дифференциального и интегрального исчисления. Позднее физики использовали язык математического анализа для более точного описания закона всемирного тяготения и решения задач, связанных с гравитацией. Созданная Ньютоном классическая теория гравитации пережила века и уступила место общей теории относительности Альберта Эйнштейна, давшего новое, более подробное объяснение гравитации. Идеи самого Эйнштейна стали возможными только благодаря новым математическим понятиям, позволившим ему развить более изощренный язык для своих более сложных (по сравнению с ньютоновскими) научных идей. Современная интерпретация гравитации также стала возможной под влиянием последних достижений математики. Новейшие квантовые теории гравитации связаны с успехами математической теории струн, в которой геометрические и топологические свойства трубок наилучшим образом объясняют силы природы.

Из всех взаимосвязей между числами и природой, изученных членами пифагорейского братства, наиболее важным стало соотношение, которое ныне носит имя основателя братства. Теорема Пифагора дает нам соотношение, которое выполняется для всех прямоугольных треугольников и, следовательно, определяет прямой угол. В свою очередь, прямой угол определяет перпендикуляр, т. е. отношение вертикали к горизонтали, а в конечном счете — отношение между тремя измерениями нашего мира. Математика — через прямой угол — определяет самую структуру пространства, в котором мы живем. Это очень глубокая мысль.

Между тем, формулировка теоремы Пифагора сравнительно проста. Действительно, чтобы понять ее, нужно прежде всего измерить длину двух более коротких сторон (x и y ), — так называемых катетов, — прямоугольного треугольника, и каждую из полученных длин возвести в квадрат (x 2 и y 2). Затем нужно сложить квадраты длин (x 2 + y 2). Для треугольника, изображенного на рис. 2, сумма равна 25.