Одним из примеров задачи, упорно не поддававшейся решению на протяжении десятилетий, может служить гипотеза о точках. В ней речь идет о нескольких точках, каждая из которых соединена с другими точками прямыми, как показано на рис. 13. Гипотеза утверждает, что невозможно нарисовать диаграмму такого рода так, чтобы на каждой прямой лежали по крайней мере три точки (диаграмму, на которой все точки лежат на одной и той же прямой, мы исключаем из рассмотрения). Экспериментируя с несколькими диаграммами, мы можем убедиться в том, что гипотеза о точках, по-видимому, верна. На рис. 13а пять точек связаны шестью прямыми. На четырех из этих линий не наберется по три точки, и поэтому ясно, что такое расположение точек не удовлетворяет требованию задачи, согласно которому каждой прямой принадлежит по три точки.

а )

б )

Рис. 13. На этих диаграммах каждая точка связана с каждой из остальных точек прямыми. Можно ли построить такую диаграмму, на которой каждая прямая проходит по крайней мере через три точки?

Добавив одну точку и одну проходящую через нее прямую, мы снизили число прямых, на которых не лежат по три точки, до трех. Но дальнейшее приведение диаграммы к условиям гипотезы (такая перестройка диаграммы, в результате которой на каждой прямой оказалось бы по три точки), по-видимому, невозможна. Разумеется, это не доказывает, что такой диаграммы не существует.

Поколения математиков пытались найти доказательство, казалось бы, нехитрой гипотезы о точках — и потерпели неудачу. Эта гипотеза вызывает еще большее раздражение потому, что когда решение в конце концов было найдено, выяснилось, что для него необходимы лишь минимальные познания в математике и один неординарный поворот в рассуждениях. Ход доказательства намечен в Приложении 6.

Вполне возможно, что все методы, необходимые для доказательства Великой теоремы Ферма, уже имелись в распоряжении математиков, и что единственным недостающим ингредиентом был какой-то остроумный ход. Уайлс не собирался сдаваться: детская мечта о доказательстве Великой теоремы Ферма превратилась в глубокое и серьезное увлечение. Ознакомившись со всем, что можно было узнать о математике XIX века, Уайлс решил взять на вооружение методы XX века.