1. Deformations of Galois representations

Let p be an odd prime. Let Σ be a finite set of primes including p and let Q

Σ be the maximal extension of Q

unramified outside this set and ∞. Throughout we fix an embedding of Q, and so also of Q

Σ, in C

. We will also fix a choice of decomposition group Dq for all primes q in Z

. Suppose that k is a finite field of characteristic p and that

(1.1)

ρ0: Gal(Q

Σ/Q

) → GL2(k )

is an irreducible representation. In contrast to the introduction we will assume in the rest of the paper that ρ0 comes with its field of definition k . Suppose further that det ρ0 is odd. In particular this implies that the smallest field of definition for ρ0 is given by the field k 0 generated by the traces but we will not assume that k = k 0. It also implies that ρ0 is absolutely irreducible. We consider the deformations [ρ] to GL2(A ) of ρ0 in the sense of Mazur [Ma1]. Thus if W (k ) is the ring of Witt vectors of k, A is to be a complete Noetherian local W (k )-algebra with residue field k and maximal ideal m , and a deformation [ρ] is just a strict equivalence class of homomorphisms ρ: Gal(Q

Σ/Q

) → GL2(A ) such that ρ mod m = ρ0, two such homomorphisms being called strictly equivalent if one can be brought to the other by conjugation by an element of ker: GL2(A ) → GL2(k ). We often simply write ρ instead of [ρ] for the equivalence class.

В следующем месяце Уайлс, наконец, смог исполнить обещание, которое ему не удалось исполнить в прошлом году. «Приближался день рождения Нады, и я вспомнил, что в прошлый раз я не смог подарить ей то, что она хотела получить в подарок. На этот раз, через полминуты после начала праздничного обеда по случаю ее дня рождения, я подарил Наде рукопись полного доказательства. Думаю, что этому подарку она была рада больше, чем любому другому, который я когда-либо дарил ей».

Дата: 25 окт 1994 11:04:11

Тема: Последние новости о великой теореме Ферма

Этим утром поступили две рукописи: «Модулярные эллиптические кривые и великая теорема Ферма» Эндрю Уайлса и «Теоретико-кольцевые свойства некоторых алгебр Гекке» Ричарда Тейлора и Эндрю Уайлса.

Первая из них (большая) содержит среди прочего доказательство великой теоремы Ферма, использующее в одном решающем шаге вторую (малую).

Как известно большинству из вас, в доказательстве, изложенном в кембриджских докладах Уайлса, оказался серьезный пробел, а именно: построение эйлеровской системы. После безуспешных попыток исправить эту конструкцию, Уайлс обратился к другим подходам, которые он использовал раньше, но от которых отказался в пользу идеи эйлеровской системы. Уайлсу удалось восполнить пробел в своем доказательстве в предположении, что некоторые алгебры Гекке представляют собой локально полные пересечения. Эта и остальные идеи, бегло описанные в кембриджских докладах Уайлса, изложены в первой рукописи. В совместной работе Тейлор и Уайлс (вторая статья) установили необходимое свойство алгебр Гекке. Общий ход доказательства аналогичен намеченному Уайлсом в его кембриджских докладах. Новый подход гораздо проще и короче первоначального, поскольку изъята система Эйлера. (После изучения обеих работ Фалтингсу удалось еще более упростить эту часть доказательства.) Варианты представленных рукописей попали в руки небольшого числа людей (в некоторых случаях) в течение нескольких недель. И хотя разумно сохранять осторожность, основания для оптимизма заведомо имеются.

Карл Рубин

Университет штата Огайо