Но в 1890 году лектор Дурхэмского университета Перси Джон Хивуд опубликовал работу, потрясшую математический мир. Через десять лет после того, как Кемпе, казалось бы, решил проблему четырех красок, Хивуд не оставил от его решения камня на камне, показав, где в решении Кемпе была допущена принципиальная ошибка. Единственной хорошей новостью было то, что Хивуду удалось получить оценку для максимального числа красок: оно могло быть равно четырем или пяти, но не более.

Хотя Кемпе, Хивуду и другим так и не удалось решить проблему четырех красок, их попытки внесли большой вклад в новый раздел математики — топологию. В отличие от геометрии, которая занимается изучением точной формы и размеров объекта, топологию интересуют только самые фундаментальные свойства объекта, составляющие его суть.

Например, когда геометр изучает квадрат, его интересуют такие свойства квадрата, как равная длина сторон и то, что все внутренние углы квадрата прямые. Когда же тополог изучает квадрат, его интересует только то обстоятельство, что контур квадрата представляет одну сплошную замкнутую линию, т. е. по существу — петлю. Поэтому для тополога окружность неотличима от квадрата, поскольку окружность также представляет собой одну петлю. Математик Джон Келли как-то раз заметил: «Тополог — это тот, кто не отличает бублик от кофейной чашки».

Топологическую эквивалентность квадрата и окружности можно наглядно представить себе и другим способом, вообразив, что квадрат или окружность начерчены на резиновом листе. Если выбрать за исходную фигуру квадрат, то, растягивая, сжимая, изгибая и перекручивая резиновый лист (но не разрывая его и не склеивая никакие точки), квадрат можно превратить в окружность. С другой стороны, квадрат невозможно превратить в крест, как бы мы ни деформировали резиновый лист. Следовательно, квадрат и крест топологически не эквивалентны. Из-за такого подхода к наглядному представлению топологических свойств фигур топологию часто называют «геометрией на резиновом листе».

Отказавшись от таких понятий, как длина и угол, топологи могут отличать объекты по таким свойствам, как число точек пересечения, которыми обладает объект. По точкам пересечения восьмерка существенно отличается от окружности, так как у восьмерки имеется точка, где пересекаются четыре линии, тогда как у окружности точек пересечения нет вообще. Сколько бы мы ни растягивали и ни изгибали восьмерку, ее невозможно превратить в окружность. Топологи занимаются также изучением трехмерных объектов (и даже объектов более высокой размерности), у которых их внимание привлекают такие фундаментальные свойства, как дыры, петли и узлы.

Математики надеялись, что рассматривая карты через упрощающие линзы топологии, они сумеют постичь самую суть проблемы четырех красок. Первый успех пришел в 1925 году, когда Филип Франклин, оставив в стороне общую проблему четырех красок, сумел доказать, что для раскрашивания любой карты, содержащей не более 25 областей, требуются только четыре краски. Другие математики попытались использовать метод Франклина, и в 1926 году Рейнольдс обобщил доказательство Франклина, сумев довести число областей до 27. В 1940 году Винн распространил доказательство на карты с 35 областями, а в 1970 году Оре и Стемпл увеличили число областей до 39. Казалось, история проблемы четырех красок повторяет историю Великой теоремы Ферма: продвижение к бесконечно многим областям происходило медленно. В правильности исходной гипотезы Гатри почти не было сомнений, но до тех пор, пока не получено доказательство для общего случая, всегда оставалась возможность, что кому-нибудь все же удастся начертить карту, которая опровергнет эту гипотезу. И, действительно, в 1975 году известный популяризатор науки и многолетний ведущий раздела «Математические игры» журнала «Scientific American» Мартин Гарднер опубликовал карту, для раскрашивания которой якобы требовались пять красок. Однако номер журнала «Scientific American» вышел 1 апреля, а Гарднер был великолепно осведомлен о том, что хотя раскрасить его карту четырьмя красками довольно трудно, но отнюдь не невозможно. Возможно, вы захотите попробовать сделать это сами. Карта, о которой идет речь, изображена на рис. 28.

Рис. 28.

Со временем становилось ясно, что традиционные подходы не позволяют преодолеть пропасть, отделяющую предложенное Оре и Стемплом доказательство для карт, содержащих не более 39 областей, от доказательства для любых карт, возможно, состоящих из бесконечно большого числа областей. И вот в 1976 году два математика из Иллинойского университета, Вольфганг Хакен и Кеннет Аппель, предложили новый метод, перевернувший традиционные представления о математическом доказательстве.