Цель Евклида состояла в доказательстве того, что число √2 не представимо в виде дроби. Поскольку Евклид использовал доказательство от противного, первый шаг состоял в предположении, что верно противоположное утверждение, т. е. что число √2 представимо в виде некоторой неизвестной дроби. Запишем эту дробь в виде p /q , где p и q — два целых числа.

Прежде чем приступать к самому доказательству, необходимо напомнить некоторые основные свойства дробей и четных чисел.

1) Если взять любое число и умножить его на 2, то произведение должно быть четным. По существу, это определение четного числа.

2) Если квадрат некоторого числа четен, то и само число должно быть четным.

3) Наконец, дроби можно сокращать: 16/24 это то же самое число, что и 8/12. Чтобы убедиться в этом разделите числитель и знаменатель дроби 16/24 на общий множитель 2. Кроме того, число 8/12 это же самое, что и 4/6, а 4/6 это же самое, что и 2/3. Дробь 2/3 не подлежит дальнейшему сокращению, так как 2 и 3 не имеют общих множителей. Дробь невозможно сокращать до бесконечности.

Напомним, что по мнению Евклида число √2 не представимо в виде дроби. Но поскольку Евклид использовал доказательство от противного, он начал с предположения, что дробь p /q , равная числу √2, существует, а затем исследовал, к каким последствиям приводит такое предположение:

√2 = p /q .

Возводя обе части равенства в квадрат, получаем

2 = p 2/q 2.

После несложного преобразования запишем это равенство в виде

2q2 = p2

.

Из 1) мы знаем, что число p 2 должно быть четным. Кроме того, из 2) нам известно, что число p также должно быть четным. Но если p четно, то, как следует из 1), его можно записать в виде 2m , где m — некоторое другое целое число. Подставляя p = 2m в равенство для p 2, получаем

2q2 = (2m)2 = 4m2

.

Сокращаем правую и левую части равенства на 2:

q2 = 2m2

.

Рассуждая так же, как прежде, заключаем, что число q 2 должно быть четным. Значит, и само число q должно быть четным. Но если это так, то q можно записать в виде q = 2n , где n — некоторое другое целое число. Возвращаясь к исходной записи числа √2, получаем:

√2 = p/q = 2m/2n

.

Дробь 2m /2n можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 2:

√2 = m/n

.

Мы получаем дробь m /n , которая проще, чем p /q (имеет меньший числитель и знаменатель). Теперь мы как бы снова оказались находимся на исходной позиции, и, проделав с дробью m /n все, что мы проделали с дробью p /qn , получим в результате еще более простую дробь, например, g /h . Проделав с этой дробью тоже самое, приведем ее к еще более простой дроби t /f , и т. д. Аналогичную процедуру можно проделывать бесконечное число раз. Но из 3) мы знаем, что дробь невозможно упрощать бесконечно — всегда существует простейшая дробь. Но наша исходная гипотетическая дробь p /q , насколько можно судить, не подчиняется этому правилу. Следовательно мы получили противоречие. Итак, мы можем утверждать, что число √2 не представимо в виде дроби, а это означает оно является иррациональным числом.