Теорема:

Все натуральные числа равны между собой.

Доказательство.

Необходимо доказать, что для любых двух натуральных чисел A и B выполнено равенство A = B . Переформулируем это в таком виде: для любого N > 0 и любых A и B , удовлетворяющих равенству max(A , B ) = N , должно выполняться и равенство A = B .

Докажем это по индукции. Если N = 1, то A и B , будучи натуральными, оба равны 1. Поэтому A = B .

Предположим теперь, что утверждение доказано для некоторого значения k . Возьмем A и B такими, чтобы max(A , B ) = k + 1. Тогда max(A –1, B –1) = k . По предположению индукции отсюда следует, что (A –1) = (B –1). Значит, A = B .