В этой алгебре об'ектами служат высказывания, о которых мы уже поговорили. Операции над высказываниями также обсудили. Осталось поговорить об их свойствах или законах, чтобы определится наконец с алгеброй.

Если использовать только три первых логических операции: диз'юнкцию, кон'юнкцию и отрицание, то алгебра высказываний аналогична алгебре множеств. Аналог диз'юнкции – об'единение, кон'юнкции – пересечение, а отрицания – дополнение. Эти аналогии можно использовать для одного из возможных об'яснений смысла логических операций (это, так называемая, теоретико-множественная интерпретация – и она достаточно «естественна»). Но мы ограничимся формальным подходом. А в связи с этим напомним, что нами были названы еще импликация, эквивалентность и штрих Шеффера, аналогов которым в теории множеств мы не стали искать.

Однако эти операции можно выразить через первые три.

Импликацию можно представить иначе, если взять диз'юнкцию отрицания первого высказывания со вторым. То есть с точки зрения формальной логики равносильны высказывания:

"ЕСЛИ стоит хорошая погода, ТО мы купаемся" и

"НЕВЕРНО , что стоит хорошая погода, ИЛИ мы купаемся".

Единственный случай, когда оба сложных высказывания ложны, это когда первое высказывание истинно, а второе ложно, то есть когда погода стоит хорошая, а мы не купаемся.

Для эквивалентности замена более длинная, но, фактически, совпадающая с определением. Например, высказывание (пусть и несколько диковатое):

"Хорошая погода стоит ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА , КОГДА мы купаемся" эквивалентно высказыванию "Хорошая погода И мы купаемся ИЛИ НЕ хорошая погода И мы НЕ купаемся".

Кстати, эквивалентность можно было выразить и через кон'юнкцию двух импликаций:

"ЕСЛИ стоит хорошая погода, ТО мы купаемся И ЕСЛИ мы купаемся, ТО стоит хорошая погода".

Штрих Шеффера для этих же исходных высказываний мог бы выглядеть следующим образом:

"НЕ ВЕРНО , что стоит хорошая погода И мы купаемся" или (по так называемому закону Де Моргана) это равносильно высказыванию:

"НЕ хорошая погода ИЛИ мы НЕ купаемся".

В алгебре высказываний есть законы: коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный, которые аналогичны законам для множеств.

Чтобы убить двух зайцев, для иллюстрации коммутативного закона воспользуемся примером из книги Клини «Математическая логика»: "Мэри вышла замуж И родила ребенка" равносильно с точки зрения логики тому что "Мэри родила ребенка И вышла замуж". Первый «заяц» связан c синтаксисом коммутативного закона – то есть можно переставлять местами высказывания, а второй «заяц» – с семантикой, при которой перестановка не соответствует общепринятой морали – для приличного общества существенно, какое событие стоит первым. (Это в очередной раз говорит о том, что математическая логика не учитывает [и не в состоянии это сделать!] многих нюансов, имеющих место в практике жизни).

Ассоциативный закон утверждает, что безразлично, в каком порядке мы рассматриваем (истинность) попарных кон'юнкций и диз'юнкций:

"Стоит хорошая погода И мы купаемся И заработали ангину".

"Стоит хорошая погода ИЛИ мы купаемся ИЛИ заработали ангину".

Поскольку очередность выполнения операций в математике часто задают скобками, то ассоциативный закон еще называют законом снятия скобок.

Дистрибутивный закон .

Приведем пример только для «экзотического» случая.

"Стоит хорошая погода ИЛИ мы купаемся И заработали ангину" равносильно высказыванию

"Стоит хорошая погода И мы купаемся ИЛИ стоит хорошая погода И заработали ангину"

Не будем перечислять все возможные законы логики высказываний. Как уже было сказано, они аналогичны законам алгебры множеств. Но важно заметить, что здесь мы вместо слова «равенство» употребляли слово «равносильность». Два сложных высказывания являются равносильными, если они имеют одинаковые ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ . В этих таблицах начальные столбцы соответствуют исходным (элементарным) высказываниям, а последний результирующему (сложному) высказыванию. В начальных столбцах проставляются все возможные комбинации истинности элементарных высказываний, а в последнем истинность сложного высказывания.

Для каждой комбинации отдельная строка.

Для последнего примера таблицы будут одинаковыми для левой и правой части дистрибутивного закона:

хорошая погода | мы купаемся | заработали ангину | РЕЗУЛЬТАТ

0 | 0 | 0 | 0

0 | 0 | 1 | 0

0 | 1 | 0 | 0

0 | 1 | 1 | 1

1 | 0 | 0 | 1

1 | 0 | 1 | 1

1 | 1 | 0 | 1

1 | 1 | 1 | 1

Касательно математической логики, как и множеств, есть люди, несогласные с рядом ее законов. Прежде всего это опять законы исключенного третьего и противоречия. То есть заполнение очевидных таблиц истинности для конструктивистов (интуиционистов) неочевидно!

Конструктивисты относительно сложного высказывания "Теорема Ферма верна ИЛИ теорема Ферма НЕ верна" говорят, что это сложное высказывание не может быть истинным хотя бы потому, что признав его истинность мы окончательно делаем неразрешимым вопрос «Так верна она или нет?!». Более человеколюбивые логики в качестве аргумента приводят сложные высказывания типа: "Человек почти лысый ИЛИ НЕ ВЕРНО , что человек почти лысый". Утверждают, что определить истинность этого сложного высказывания не только невозможно, но и просто бестактно.