Это только кажется, что аксиоматические системы – это сложно. Любой может напридумывать их сколько угодно. Более простым делом вам вряд ли приходилось заниматься.

Например, в качестве языка можно об'явить любые «слова» из последовательности буквы Я.

Букву Я об'явим аксиомой.

Правило вывода будет удваивать букву Я.

То есть сходу придумана теория, в которой выводимы любые последовательности (слова), состоящие из буквы Я.

Я ЯЯ ЯЯЯ… ЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯ…

И все бы хорошо, только такая строго заданная теория мало что дает создателю, кроме радости созидания. Поэтому встает вопрос целесообразности, смысла. Той самой семантики… Здесь логики заняли очень(! ) интересную позицию.

Коль скоро логика не интересуется смыслом высказываний, а лишь их истинностью, то ее (истинность) и об'явили смыслом высказываний. Вдумайтесь, смысл высказывания, например, «Газ при нагревании расширяется» не в том, что это отражение физического закона, а в том что оно истинно. Следовательно, точно такой же смысл(! ) имеет высказывание «Никита Михалков – кинорежиссер». То есть его смысл в том, что оно тоже истинное.

Дальше – больше. Язык предикатов – это существенное расширение языка высказываний и обычным образом перебрать все случаи даже в простейшей ситуации, вроде «Икс любит кашу», не всегда возможно. Тем более, что речь может идти и о бесконечностях. Для решения проблем семантики в этом случае прибегают к теории моделей. Но это теория также, в конечном итоге, упирается в «смысл» типа истинно-ложно.

Возвращаясь к аксиоматическим теориям следует сказать, что в математике «практический смысл» имеют лишь такие теории, в которых можно выводить только истинные формулы. И нельзя ложные.

Одна ложная формула «уничтожает без остатка» любую аксиоматическую теорию.

Наша теория, созданная из буквы Я, не привязана к понятию истинности. Поэтому она бессмысленна, как бессистемная перестановка детских кубиков.

С кубиками все ясно. Но проблемы аксиоматических теорий на этом не исчерпываются. Пожалуй самым фундаментальным открытием в этой сфере следует считать доказанную Геделем ТЕОРЕМУ О НЕПОЛНОТЕ . Оказывается, в сколько-нибудь сложной аксиоматической системе (посложнее, чем кубики, но достаточно даже арифметики) существуют формулы, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Может в этом причина, что не все школьные задачки имеют решения?!

Так что, создавая свои аксиоматические теории помните, что они должны обладать какими-то полезными свойствами. А такие теории создавать уже не так-то просто. Хотя создать свою собственную математику может каждый!

Известно высказывание одного крупного математика: «Преимущество аксиоматизации – это преимущество воровства перед честным трудом».