— линейное пространство, натянутое на множество эталонов. Тогда первое преобразование в (5) переводит векторы из Rn в L (xi ). Второе преобразование в (5) переводит результат первого преобразования Px в одну из вершин гиперкуба образов. Легко показать, что второе преобразование в (5) переводит точку Px в ближайшую вершину гиперкуба. Действительно, пусть a и b две различные вершины гиперкуба такие, что a — ближайшая к Px , а b = x'.

Из того, что a и b различны следует, что существует множество индексов, в которых координаты векторов a и b различны. Обозначим это множество через I = i : ai = -bi . Из второго преобразования в (5) и того, что b = x' , следует, что знаки координат вектора Px всегда совпадают со знаками соответствующих координат вектора b . Учитывая различие знаков i- х координат векторов a и Px при i ∈ I можно записать |ai -(Px )i | = |ai |+|(Px )i | = 1+|(Px )i |. Совпадение знаков i- х координат векторов b и Px при i ∈ I позволяет записать следующее неравенство |bi -(Px )i | = ||bi |-|(Px )i | < 1+|(Px )i |. Сравним расстояния от вершин a и b до точки Px

Полученное неравенство

противоречит тому, что a — ближайшая к Px . Таким образом, доказано, что второе преобразование в (5) переводит точку Px в ближайшую вершину гиперкуба образов.