m — матрицу Грама для множества из m векторов; через Em — единичную матрицу размерности m×m. При обращении матриц методом Гаусса используется следующая процедура:

1 .Запишем матрицу размерности m ×2m следующего вида: (G

m |E

m ).

2. Используя операции сложения строк и умножения строки на ненулевое число преобразуем левую квадратную подматрицу к единичной. В результате получим (E

m |G

m -1). Пусть известна G

m-1 — обратная к матрице Грама для множества из m векторов xi . Добавим к этому множеству вектор xm +1. Тогда матрица для обращения матрицы G

m+1 методом Гауса будет иметь вид:

После приведения к единичной матрице главного минора ранга m получится следующая матрица:

где bi — неизвестные величины, полученные в ходе приведения главного минора к единичной матрице. Для завершения обращения матрицы G

m+1 необходимо привести к нулевому виду первые m элементов последней строки и (m +1)-го столбца. Для обращения в ноль i- го элемента последней строки необходимо умножить i- ю строку на (x, xm +1) и вычесть из последней строки. После проведения этого преобразования получим

где

,

.

b 0 = 0 только если новый эталон является линейной комбинацией первых m эталонов. Следовательно b 0 ≠ 0. Для завершения обращения необходимо разделить последнюю строку на b 0 и затем вычесть из всех предыдущих строк последнюю, умноженную на соответствующее номеру строки bi . В результате получим следующую матрицу

где F

ij = G

mij -1-bicj /b 0. Поскольку матрица, обратная к симметричной, всегда симметрична получаем ci /b 0 = -bi /b 0 при всех i . Так как b 0 ≠ 0 следовательно bi = -ci .

Обозначим через d

вектор ((x 1, xm +1), …, (xm , xm +1)), через b

— вектор (b 1, …, bm ). Используя эти обозначения можно записать b

= Gm -1d

, b 0 = (xm +1,xm +1)-(d

,b), b 0 = (xm +1,xm +1)-(d

,b

). Матрица Gm+1 -1 записывается в виде

Таким образом, при добавлении нового эталона требуется произвести следующие операции:

1. Вычислить вектор d

(m скалярных произведений — mn операций, mn ≤n ²).

2. Вычислить вектор b

(умножение вектора на матрицу — m ² операций).

3. Вычислить b 0 (два скалярных произведения — m +n операций).

4. Умножить матрицу на число и добавить тензорное произведение вектора b

на себя (2m ² операций).

5. Записать G

m+1 -1.

Таким образом эта процедура требует m +n +mn +3m ² операций. Тогда как стандартная схема полного пересчета потребует:

1. Вычислить всю матрицу Грама (nm (m +1)/2 операций).

2. Методом Гаусса привести левую квадратную матрицу к единичному виду (2m ³+m ²-m операций).

3. Записать G

m+1 -1.

Всего 2m ³+m ²–m +nm (m +1)/2 операций, что в m раз больше.

Используя ортогональную сеть (6), удалось добиться независимости способности сети к запоминанию и точному воспроизведению эталонов от степени коррелированности эталонов. Так, например, ортогональная сеть смогла правильно воспроизвести все буквы латинского алфавита в написании, приведенном на рис. 1.

Основным ограничением сети (6) является малое число эталонов — число линейно независимых эталонов должно быть меньше размерности системы n .