— По известной формуле, — сейчас же соображает Асмодей. — Квадрат расстояния между двумя точками равен сумме квадратов разностей координат этих точек, иначе говоря

d2= (X1 — Х2)2 + (У1 — У2)2.

— Очень хорошо. Подставим в эту формулу координаты соответствующих вершин треугольника. Тогда:

Ну, а теперь построим на сторонах нашего треугольника новые треугольники, на сей раз равносторонние. Намечаю их пунктиром. Буквами n, m и р обозначим точки пересечения медиан в каждом из них. Это и будут их центры тяжести. Точки эти, как известно, находятся на расстоянии двух третей медианы, считая от вершины. В первом равностороннем треугольнике это Am = От. Во втором — An = Вn. В третьем — Вр = Ор. Но так как в равностороннем треугольнике медианы являются в то же время и высотами, а высота в этом случае равна половине стороны, умноженной на

то

Иначе:

(Ат)2 = (mO)2 = (AO)2 /3 = 41/3, (An)2 = (Вn)2 = AB2/3 = 50/3;

(Вр)2 = (Ор)2 = OB2/3 = 27.

Мате на мгновение отрывается от чертежа и, убедившись, что Фило еще жив, продолжает:

— Далее обозначим искомые координаты центров тяжести равносторонних треугольников. Точки m: х1, у1; точки n: x2, у2; точки р: х3, у3. Займемся сперва одним треугольником и по известной уже нам формуле о квадрате расстояния между двумя точками вычислим, что

(Am)2 = (Оm)2 = (x1 — 4)2 + (y1 — 5)2 = x12 + y12 = 41/3.

Решая систему двух уравнений:

(x1 — 4)2 + (y1 — 5)2 = x12 + y12 и x12 + y12 = 41/3, найдем, что

— А как это у вас получилось? — неожиданно для себя самого интересуется Фило.

— По-моему, это понятно всякому школьнику, — сердито отвечает Мате.

— Допустим. А как же быть с двумя знаками перед вторыми слагаемыми? Какой из них выбрать?

— Ну, а это уж где как. Обратите внимание на то, что первые слагаемые (2 и 2,5) — это координаты середины стороны ОА. В самом деле:

(O + 4)/2 = 2 и (O + 5)/2 = 2,5

А точка т лежит слева от этой середины, но выше ее. Следовательно, в первом равенстве (x1) надо сохранить знак минус, а во втором (у1) — знак плюс. Поэтому окончательно:

Точно таким же образом найдем координаты точек n и р:

Остается вычислить расстояния между т и п, п и р, р и т. Обозначим их буквой dс соответствующими индексами: тп, пр и рт. Тогда:

Если теперь вычислить