П(x) = ax+b

В этом случае при любом фиксированном i<>0 система (2) имеет решение только при одном значении j<>0, такая матрица заведомо не будет положительной ни в какой степени и свойство 2-транзитивности недостижимо. Число нулей у такой матрицы будет максимальным .

А можно ли построить подстановки с минимально возможным числом нулей в матрице P(П)? Этот вопрос уже гораздо интереснее, простого и тривиального ответа на него нет. Пока. Но в следующих главах этой книги ситуация проясниться и в конечном итоге получится очень красивый результат.

Но это больше теоретические дебри. С точки зрения практического применения гораздо важнее знать, чего можно ожидать от матрицы P(П) при случайном и равновероятном выборе П. И здесь были доказаны очень важные теоремы о том, что в среднем ненулевых элементов в этой матрице будет примерно 2/3, что с вероятностью, близкой к 1, при случайном и равновероятном выборе П матрица P(П)2 не будет содержать нулевых элементов, а группа <g,П> будет совпадать с симметрической. В общем, все то, что требуется для использования подстановки П в качестве случайного разового ключа.

Вот такая была предыстория работ по шифрам на новой элементной базе. А ребята из НИИ Автоматики, по мотивам всех этих результатов, придумали следующую схему блочного шифра, работающего на основе байтового регистра сдвига и использующего только самые типовые операции с байтами, которые заложены в архитектуру появлявшихся тогда микропроцессоров. Эту схему назвали «Ангстрем-3».

В ней два регистра сдвига, работающих с байтами. В первый регистр сдвига длиной 8 байт записывается 8-байтовый блок открытого текста, во второй – ключ, или как его еще можно здесь назвать входное слово, длины Т для первого регистра. Схема крутится Т тактов, после чего заполнение первого регистра выдается в качестве 8 байтового блока шифртекста. Типичный блочный шифр, все операции сложения – в кольце Z/256, реализация – изумительно простая, если писать программу, то это буквально две-три строки.

Но программы будут позже, а пока, в 1980 году, эту схему предполагалось реализовывать аппаратно, с помощью типовых микропроцессоров, работающих с байтами. Идеи подстановки-ключа тоже появятся позже, первоначально предполагалось П выбрать и зафиксировать. А главный вопрос, который интересовал НИИ Автоматики – до какого предела можно уменьшать значение Т, количество тактов, которые должна отработать схема для зашифрования одного блока. Чем меньше Т, тем выше скорость шифрования, а это было для них определяющим фактором.

– Нельзя ли выбрать Т=16?

– Нужно подумать.

Так начиналась моя осмысленная работа в Теоретическом отделе. Перед глазами – чистая тетрадь, отчеты 4 факультета и НИИ Автоматики, сиди и думай, нельзя ли выбрать Т=16.