Пусть у нас есть бигармоническое уравнение :

2

U

=

f

Заданное на области G={

(x,y)

: 0<=x<=a,

0<=y<=b

}.

Пусть также заданы краевые условия на границе области G

.

U = 0 Y

x=0 b

Uxxx = 0

x=0

G

Ux = 0

x=a

Uxxx = 0 0 a X

x=a

U = 0 U = 0

y=0 y=b

Uy = 0 Uxx + Uyy = 0

y=0 y=b y=b

Надо решить эту задачу численно.

Для решения будем использовать итерационный метод Зейделя для решения сеточных задач.

По нашей области G

построим равномерные сетки W

x

и W

y

с шагами h

x

и h

y

соответственно .

W

x

={ x(i)=ih

x

, i=0,1 .N, h

x

N=a }

W

y

={ y(j)=jh

y

, j=0,1 .M, h

y

M=b }

Множество узлов U

ij

=(x(i),y(j))

имеющих координаты на плоскости х(i)

,y(j)

называется сеткой в прямоугольнике G

и обозначается :

W={ U

ij

=(ih

x

,jh

y

), i=0,1 .N, j=0,1 .M, h

x

N=a, h

y

M=b }

Сетка W

очевидно состоит из точек пересечения прямых x=x(i)

и y=y(j)

.

Пусть задана сетка W

.Множество всех сеточных функций заданных на W

образует векторное пространство с определённом на нём сложениемфункций и умножением функции на число. На пространстве сеточных функций можно определитьразностные или сеточные операторы. 0ператор A

преобразующий сеточную функцию U

в сеточную функцию f

=

AU

называется разностным или сеточным оператором. Множество узлов сетки используемое при написании разностного оператора в узле сетки называется шаблоном этого оператора.

Простейшим разностным оператором является оператор дифференцирования сеточной функции, который порождает разностные производные. Пусть W

- сетка с шагом h

введённая на R

т.е.

W={X

i

=a+ih, i=0, + 1, + 2 .}

Тогда разностные производные первого порядка для сеточной функции Y

i

=

Y

(

X

i

)

, X

i

из W

, определяется по формулам :

L

1

Y

i

= Y

i

- Y

i-1

,

L

2

Y

i

=

L

1

Y

i+1

h

и называются соответственно левой и правой производной. Используется так же центральная производная :

L

3

Y

i

=Y

i+1

- Y