не равны нулю, то вычисления по формуле (*)

требуют M

-1

операций умножения и одного деления. Поэтому реализация

2

одного шага осуществляется за 2

M

-

M

арифметических действий.

Если отлично от нуля лишь m элементов, а именно эта ситуация имеет место для сеточных эллиптических уравнений, то на реализацию итерационного шага потребуется 2

Mm

-

M

действий т.е. число действий пропорционально числу неизвестных M

.

Запишем теперь метод Зейделя в матричной форме. Для этого представим матрицу A

в виде суммы диагональной, нижней треугольной и верхней треугольной матриц :

A = D + L + U

где

0 0 . . . 0 0

a

12

a

13

. . .

a

1M

a

21

0 0 0

a

23

. . .

a

2M

a

31

a

32

0 0 .

L = . U= .

. .

.

a

M-1M

a

M

1

a

M

2

. . .

a

MM

-1

0 0 0

И матрица D

- диагональная.

(

k

) (

k

) (

k

)

Обозначим через Y

k

= (

Y

1

,

Y

2

.

Y

M

)

вектор k

-ого итерационного шага. Пользуясь этими обозначениями запишем метод Зейделя иначе :

(

D

+

L

)

Y

k

+1

+

UY

k

=

f

,

k

=0,1 .

Приведём эту итерационную схему к каноническому виду двухслойных схем :

( D + L )(Y

k+1

- Y

k

) +AY

k

= f , k=0,1 .

Мы рассмотрели так называемый точечный или скалярный метод Зейделя, анологично строится блочный или векторный метод Зейделя для случая когда a

ii

- есть квадратные матрицы, вообще говоря, различной размерности, а a

ij

для i

<>

j

- прямоугольные матрицы. В этом случае Y

i

и f

i

есть векторы, размерность которых соответствует размерности матрицы a