Возможны три случая расположения прямых в пространстве:

1) прямые пресекаются, т. е. имеют общую точку;

2) прямые параллельны, т. е. не имеют общей точки, но лежат в одной плоскости;

3) прямые скрещиваются, т. е. не лежат в одной плоскости, т. е. через них нельзя провести плоскость.

Когда прямые пересекаются, на эпюре точки пересечения их одноименных проекций на горизонтальной и фронтальной плоскостях находятся на одном перпендикуляре к оси х.

Рассмотрим прямые I и II, которые пересекаются в точке А (рис. 26). Спроецируем обе прямые на горизонтальную плоскость. Если учесть, что точка А принадлежит обеим прямым, то ее проекция а будет принадлежать также и обеим проекциям прямых.

Похожая картина будет и на фронтальной плоскости, т. е. эти точки пересечения одноименных проекций а и а́ являются проекциями некоторой точки А , и поэтому они должны лежать на одном перпендикуляре к оси х. Точно так же будет верным и обратное утверждение: если на эпюре точки пересечения одноименных проекций прямых на две плоскости (горизонтальную и фронтальную) лежат на одном перпендикуляре к оси х , то эти прямые пересекаются.

Пусть проекции прямых I к II (рис. 27) подчиняются этому условию.

Тогда точки пересечения их одноименных проекций можно рассматривають как проекции некоторой точки в пространстве. Обозначим точку пересечения горизонтальных проекций 1 и 2 буквой а , а точку пересечения фронтальных проекций 1́ и 2́ – буквой а́ . Рассматриваемая точка А находится и на прямой I, и на прямой II. То есть она является их общей точкой, в которой пересекаются эти прямые.

Прямое утверждение справедливо во всех случаях без исключения. Обратное же утверждение неприменимо в том случае, если хотя бы одна из прямых профильная.

Когда прямые параллельны

, на эпюре их одноименные проекции параллельны (рис. 28).

На самом деле, плоскости Р и Q , проецирующие прямые I и II на горизонтальную плоскость, параллельны, так как в каждой из этих плоскостей можно указать две пересекающиеся прямые, параллельные двум пересекающимся прямым второй плоскости, т. е. прямая I параллельна прямой II, и проектирующий луч Аа параллелен лучу Вb . Но две параллельные плоскости Р и Q пересекут горизонтальную плоскость. В результате этого образуются две параллельные прямые 1 и 2, т. е. горизонтальные проекции прямых I и II параллельны между собой.

Аналогично можно доказать, что и любые другие одноименные проекции обеих прямых также будут параллельны друг другу.

Верно и обратное утверждение: прямые параллельны, если на эпюре их одноименные проекции параллельны.

Если известно, что горизонтальные и фронтальные проекции прямых I и II параллельны, будет справедливо следующее: 1 || 2 и 1́|| 2́ (рис. 29).

В этом случае можно сказать, что плоскости Р I и Р II, проецирующие прямые I и II на горизонтальную плоскость, параллельны, так как в этих плоскостях можно указать по паре пересекающихся соответственно параллельных прямых (прямые 1 и 2 и проецирующие лучи). Аналогично плоскости Q I и Q II будут параллельны.

Прямая I находится в пересечении плоскостей Р I и Q I, а прямая II – в пересечении плоскостей РII QII. Отсюда получаем, что прямая I параллельна плоскости РII, потому что находится в плоскости, ей параллельной. Однако прямая I параллельна и плоскости Q II. Поэтому прямая I параллельна линии пересечения плоскостей Р II и Q II, т. е. прямой II.

Доказательство обратного утверждения не имеет смысла для профильных прямых. Это объясняется тем, что тогда вместо двух плоскостей, проецирующих прямую на горизонтальную и фронтальную плоскости, существует только одна, дважды проецирующая плоскость (рис. 30).

Видно, что вне зависимости от расположения двух профильных прямых I и II в пространстве их горизонтальные и фронтальные проекции всегда параллельны (или сливаются).