0122495343014654958537105079227968925892354201995611212

9021960864034418159813629774771309960518707211349999998

3729780499510597317328160963185950244594553469083026425

2230825334468503526193118817101000313783875288658753320

8381420617177669147303598253490428755468731159562863882

3537875937519577818577805321712268066130019278766111959

0921642019893809525720106548586327886593615338182796823

0301952035301852968995773622599413891249721775283479131

5155748572424541506959508295331168617278558890750983817

5463746493931925506040092770167113900984882401285836160

3563707660104710181942955596198946767837449448255379774

7268471040475346462080466842590694912933136770289891521

0475216205696602405803815019351125338243003558764024749

6473263914199272604269922796782354781636009341721641219

9245863150302861829745557067498385054945885869269956909

2721079750930295532116534498720275596023648066549119881

8347977535663698074265425278625518184175746728909777727

938000816470200161452491921732172147723501414419735

Когда Евклид отважился рассмотреть проблему иррациональности в десятом томе «Начал», его цель состояла в том, чтобы доказать существование числа, не представимого в виде обыкновенной дроби. Вместо того, чтобы доказывать иррациональность числа π, Евклид рассмотрел квадратный корень из двух, √2, — число, которое при умножении на себя дает число 2. Чтобы доказать, что число √2 не представимо в виде обыкновенной дроби, Евклид воспользовался доказательством от противного и предположил, что число √2 представимо в виде обыкновенной дроби. Затем он показал, что эту гипотетическую дробь всегда можно упростить. Упрощение дроби означает, что числитель и знаменатель можно поделить на одно и то же целое число. Например, дробь 8/12 можно упростить, сократив числитель и знаменатель на 2 и превратив ее в дробь 4/6. В свою очередь, дробь 4/6 можно упростить до 2/3, а вот дробь 2/3 уже дальнейшему упрощению не поддается, почему и называется несократимой дробью. Евклид показал, что гипотетическая дробь, по предположению представляющая число √2, может быть упрощаема снова и снова бесконечное число раз, но так и не приводится к несократимому виду. Но это нелепо, так как все дроби приводимы к несократимому виду. Следовательно, гипотетическая дробь не может существовать. Это означает, что число √2 не представимо в виде дроби и, следовательно, иррационально. Ход доказательства Евклида приведен в Приложении 2.

Используя доказательство от противного, Евклид сумел доказать существование иррациональных чисел. До Евклида все числа, с которыми люди имели дело, были представимы как целые числа или обыкновенные дроби, но евклидовы иррациональные числа игнорировали традиционное представление чисел. Не существует иного способа описать число, равное квадратному корню из 2, как записав его в виде √2, поскольку его нельзя представить в виде обыкновенной дроби, а любая попытка записать √2 в виде десятичной дроби не позволяет получить ничего, кроме приближения, например, 1,414213562373…