Коль скоро мы определили число i как квадратный корень из –1, то должно существовать число 2i , так как оно равно сумме i плюс i (а также квадратному корню из –4). Аналогично, должно существовать и число i /2, так как оно получается при делении i на 2. Выполняя простые операции, можно получить мнимый эквивалент каждого так называемого действительного числа. Существуют мнимые натуральные числа, мнимые отрицательные числа, мнимые дроби и мнимые иррациональные числа. Проблема, которая теперь возникает, заключается в том, что у всех этих мнимых чисел нет своего естественного места на действительной числовой оси. Математики разрешили возникший кризис, введя еще одну — мнимую — ось, перпендикулярную действительной оси и пересекающую ее в нуле, как показано на рис. 12. Числа перестали занимать одномерную прямую, а расположились на двумерной плоскости. Чисто мнимые или чисто действительные числа заполняют соответствующие оси — действительную и мнимую, а комбинации действительного и мнимого чисел (например, 1+2i ) называются комплексными числами и обитают на так называемой числовой плоскости.

Рис. 12. Введение оси для мнимых чисел превращает числовую ось в числовую плоскость. Каждой комбинации действительного и мнимого чисел соответствует определенная точка на числовой плоскости

Особенно замечательно, что в комплексных числах решается любое алгебраическое уравнение. Например, чтобы вычислить √3+4i , математикам не нужно изобретать числа нового типа: оказывается, что ответ равен 2+i , т. е. другому комплексному числу. Иначе говоря, создается впечатление, что мнимые числа — последний элемент, необходимый для завершения математики.

Хотя квадратные корни из отрицательных чисел получили название мнимых чисел, математики считают число i ничуть не более абстрактным, чем отрицательное или любое натуральное число. Кроме того, физики обнаружили, что мнимые числа дают лучший язык для описания некоторых явлений, протекающих в реальном мире. С помощью нехитрых манипуляций мнимые числа оказываются идеальным средством анализа естественного колебательного движения объектов, например, маятника. Такое колебательное движение, называемое на техническом языке синусоидальным колебанием, широко распространено в природе, и поэтому мнимые числа стали неотъемлемой составной частью многих физических расчетов. В наше время инженеры-электрики приспособили i к анализу переменных токов, а физики-теоретики вычисляют различные квантовомеханические эффекты с помощью осциллирующих волновых функций, суммируя степени мнимых чисел.

В чистой математике мнимые числа используют для решения задач, ранее казавшихся неразрешимыми. Мнимые числа буквально добавили новое измерение к математике, и Эйлер надеялся, что ему удастся использовать эту дополнительную степень свободы в поисках доказательства Великой теоремы Ферма.

И до Эйлера некоторые математики уже пытались приспособить метод бесконечного спуска Ферма для решения уравнения Ферма в целых числах при n , отличных от 4, но всякий раз попытка распространить метод приводила к каким-нибудь проблемам в логике. И только Эйлер показал, что, используя число i , можно заткнуть все дыры в доказательстве и заставить метод бесконечного спуска работать при n =3.

Это было грандиозное достижение, но повторить успех при других значениях n Эйлеру не удалось. К сожалению, все попытки применить те же рассуждения к другим значениям вплоть до бесконечности закончились провалом. И математик, решивший больше задач, чем кто-либо другой за всю историю, был вынужден признать поражение — Великая теорема Ферма оставалась неприступной. Единственным утешением для Эйлера было то, что он осуществил первый серьезный прорыв в «круговой обороне» труднейшей математической проблемы в мире.

Не обескураженный постигшей его неудачей, Эйлер продолжал создавать блестящие математические методы до конца своих дней, несмотря на то, что последние годы его жизни были омрачены полной слепотой. Эйлер начал слепнуть в 1735 году, когда Академия в Париже предложила премию за решение одной астрономической проблемы. Эта проблема была столь трудна, что математическое сообщество обратилось к Академии с просьбой дать на решение несколько месяцев, но Эйлеру отсрочка не была нужна. Задача настолько захватила его, что он, работая дни и ночи напролет, решил ее за трое суток и заслуженно получил премию. Но напряженнейшая работа в плохих условиях стоила Эйлеру, которому тогда едва исполнилось двадцать лет, потери одного глаза. Этот физический недостаток отчетливо виден на многих портретах Эйлера, в том числе и на том, который помещен в начале этой главы.