Осенью 1984 года избранная группа специалистов по теории чисел собралась на симпозиум в Обервольфахе, небольшом городке в Германии, в Шварцвальде. Участники симпозиума намеревались обсудить успехи в изучении эллиптических кривых. Естественно, что некоторые из докладчиков собирались сделать сообщения о продвижениях, которые им удалось достичь при исследовании гипотезы Таниямы-Шимуры. Один из выступавших, математик из Саарбрюкена Герхард Фрей высказал весьма примечательное утверждение. По его мнению, если бы кому-нибудь удалось доказать гипотезу Таниямы-Шимуры, то тем самым была бы доказана и Великая теорема Ферма.

Когда Фрею предоставили слово для доклада, он начал с того, что выписал уравнение Ферма

xn

+ yn = zn

, где n — натуральное число больше 2.

Великая теорема Ферма утверждает, что это уравнение не имеет решений в целых числах. Фрей исследовал вопрос о том, что бы произошло, если бы Великая теорема Ферма оказалась неверной, т. е. если бы уравнение Ферма допускало бы по крайней мере одно решение в целых числах. Фрей не имел ни малейшего представления о том, каким могло бы быть его гипотетическое (и еретическое) решение, поэтому неизвестные целые числа, якобы удовлетворяющие уравнению Ферма, он обозначил буквами A, B и C . Тем самым он предположил, что для некоторого N выполнено равенство:

AN

+ BN = CN

.

Затем Фрей приступил к «преобразованию» уравнения. Это строгая математическая процедура, изменяющая вид уравнения, оставляя неизменной его сущность. С помощью искусных и сложных маневров Фрею удалось преобразовать исходное уравнение Ферма, обладающее гипотетическим решением, к виду

y

2 = x 3 + (AN — BN )·x 2 — ANBN

.

Хотя полученное уравнение по своему внешнему виду очень сильно отличается от исходного, тем не менее оно является его прямым следствием с учетом принятой гипотезы. Иначе говоря, если (и, разумеется, это большое «если») уравнение Ферма допускает решение в целых числах, то такое преобразованное уравнение существует. Поначалу преобразование Фрея не произвело особого впечатления на аудиторию, но он обратил внимание присутствующих на то, что это уравнение кубическое, а кривая, ему соответствующая, является эллиптической.

Преобразовав уравнение Ферма в кубическое, Фрей тем самым установил связь между Великой теоремой Ферма и гипотезой Таниямы-Шимуры. Далее Фрей обратил внимание аудитории на то, что его эллиптическая кривая, полученная при помощи решения уравнения Ферма, обладает весьма причудливым характером. Фрей утверждал, что эта эллиптическая кривая настолько необычна, что даже отзвуки самого существования этой кривой имеют разрушительные последствия для гипотезы Таниямы-Шимуры.

Не следует забывать, что эллиптическая кривая Фрея — всего лишь фантом, призрак. Ее существование обусловлено тем, что уравнение Ферма имеет решение. Но если эллиптическая кривая Фрея существует, то она столь причудлива и необычайна, что невозможно установить соответствие между ней и какой угодно модулярной формой. Но гипотеза Таниямы-Шимуры утверждает, что каждая эллиптическая кривая должна быть связана с какой-нибудь модулярной формой. Таким образом, существование эллиптической кривой Фрея отрицает гипотезу Таниямы-Шимуры. Иначе говоря, аргументы Фрея сводились к следующему.

1. В том (и только в том) случае, если Великая теорема Ферма неверна, то эллиптическая кривая Фрея существует.

2. Кривая Фрея настолько причудлива, что не может быть модулярной.

3. Гипотеза Таниямы-Шимуры утверждает, что любая эллиптическая кривая должна быть модулярной.

4. Следовательно, гипотеза Таниямы-Шимуры должна быть неверна!