Уайлс сознавал, что, дав математике одно из величайших доказательств, он лишил ее одной из величайших загадок: «Люди говорили мне, что я отнял у них проблему, и просили дать им взамен что-нибудь еще. Математики впали в меланхолию. Мы утратили нечто такое, что было с нами на протяжении долгого времени и что многих из нас привлекло к математике. С математическими проблемами всегда так. Нам всегда необходимо находить новые проблемы, которые привлекли бы наше внимание».

Но хотя Уайлс действительно разгадал самую знаменитую математическую проблему, любителям трудных задач-головоломок не стоит терять надежду. Нерешенных проблем еще осталось превеликое множество. Многие из них, как и Великая теорема Ферма, уходят корнями в древнегреческую математику, понять их может любой школьник. Например, множество загадок и поныне связано с простыми числами. В главе 1 мы уже упоминали о том, что совершенным называется число, сумма делителей которого совпадает с самим числом. Например, 6 и 28 — совершенные числа, так как

1, 2, 3 делят 6, и 6 = 1 + 2 + 3,

1, 2, 4, 7, 14 делят 28, и 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Рене Декарт говорил, что «совершенные числа, подобно совершенным людям, встречаются весьма редко». Самое большое из известных совершенных чисел содержит в своей десятичной записи 130000 цифр и определяется по формуле

2216090·(2216091 — 1)

.

Общее свойство всех известных совершенных чисел заключается в том, что они четны. Поэтому так и подмывает сказать, что все совершенные числа четны. Проблема, увы, пока не поддающаяся решению, заключается в том, чтобы доказать это утверждение.

Другая сложная проблема, связанная с совершенными числами, состоит в выяснении ответа на вопрос, можно ли исчерпать запас совершенных чисел за конечное число шагов. На протяжении веков многие математики, занимающиеся теорией чисел, пытались выяснить, конечно или бесконечно множество совершенных чисел, но всякий раз терпели неудачу. Всякому, кому удалось бы дать определенный ответ на этот вопрос, уготовано почетное место в истории математики.

Еще одна область богата древнейшими нерешенными проблемами — теория простых чисел. Последовательность простых чисел подчиняется какой-то плохо различимой закономерности, и простые числа живут по собственным правилам. Их сравнивают с сорной травой, случайным образом распределенной среди натуральных чисел. Перебирая одно за другим натуральные числа, можно набрести на области, богатые простыми числами, но, по неизвестной причине, другие области оказываются совершенно пустыми. Математики веками пытались разгадать закон, по которому распределены простые числа, и всякий раз терпели поражение. Возможно, никакого закона не существует, и распределение простых чисел случайно по самой своей природе. В этом случае математикам можно было бы порекомендовать заняться решением менее амбициозных проблем, связанных с простыми числами.

Например, две тысячи лет назад Евклид доказал, что запас простых чисел неисчерпаем (см. гл. 2). Последние два столетия математики пытались доказать, что запас простых чисел-близнецов также неисчерпаем. Близнецами называют пары простых чисел, отличающихся на 2, т. е. являющихся ближайшими соседними простыми числами (простые числа не могут отличаться на 1, иначе одно из них должно было бы быть четным). Примерами небольших простых чисел-близнецов могут служить (5, 7), (11, 13) и (17, 19), примерами больших чисел-близнецов — (22271, 22273) и (1 000 000 000 061, 1 000 000 000 063). Существуют веские основания полагать, что множество простых чисел-близнецов бесконечно, но никому пока не удалось доказать, что это действительно так.

Самый большой прорыв к доказательству так называемой гипотезы простых чисел произошел в 1966 году, когда китайскому математику Чену Джинграну удалось показать, что существует бесконечное множество пар простых и почти простых чисел. У настоящих простых чисел нет делителей (отличных от самого числа и единицы), а почти простые числа уступают простым самую малость: у них существуют только два простых делителя. Например, число 17 простое, а число 21 (=3·7) — почти простое. Что же касается таких чисел, как 120 (=2·3·4·5), то они не простые и не почти простые, так как их можно представить в виде произведения нескольких простых множителей. Чен доказал, что существует бесконечно много случаев, когда простое число имеет в качестве близнеца либо другое простое число, либо почти простое число. Тот, кому удастся продвинуться еще на один шаг и снять оговорку «почти», совершит величайший прорыв в теории простых чисел со времен Евклида.