Рис 1. Три четко выделенных кластера в исходном пространстве сливаются полностью (а) или частично (б) при проецировании на единичную сферу.

Одним из наиболее распространенных и наименее удачных (в смысле практических применений) является сферическая сеть Кохонена. В этой постановке предполагается, что все вектора-объекты имеют единичную длину. Ядра (векторы параметров нейронов) также являются векторами единичной длины. Привлекательность этой модели в том, что нейрон вычисляет очень простую функцию — скалярное произведение вектора входных сигналов на вектор параметров. Недостатком является большая потеря информации во многих задачах. На рис. 1 приведен пример множества точек разбитого на три четко выделенных кластера в исходном пространстве, которые сливаются полностью или частично при проецировании на единичную сферу.

Эта модель позволяет построить простые иллюстрации свойств обучения сетей Кохонена, общие для всех методов. Наиболее иллюстративным является пример, когда в двумерном пространстве множество объектов равномерно распределено по сфере (окружности), причем объекты пронумерованы против часовой стрелке. В начальный момент времени ядра являются противоположно направленными векторами.

Рис. 2. Положение ядер при последовательном предъявлении объектов со скоростью обучения 0,5. Состояние до обучения и после каждой эпохи обучения. Ниже приведен график изменения суммы квадратов изменений координат ядер.

На рис. 2 приведены состояния сети Кохонена перед началом обучения и после каждой эпохи обучения. Эпохой принято называть полный цикл предъявления обучающего множества (всех объектов, по которым проводится обучение). Ядра на рисунках обозначены жирными линиями. Из рисунка видно, что обучение зациклилось — после каждой эпохи сумма квадратов изменений координат всех ядер то уменьшается, то возрастает. В литературе приводится целый ряд способов избежать зацикливания. Один из них — обучать с малым шагом. На рис. 3 приведены состояния сети при скорости обучения 0,01.

Рис. 3. Положение ядер при последовательном предъявлении объектов со скоростью обучения 0,01. Состояние до обучения и после каждой эпохи обучения. Ниже приведен график изменения суммы квадратов изменений координат ядер.

Из анализа рис. 3 видно, что изменения ядер уменьшаются со временем. Однако в случае изначально неудачного распределения ядер потребуется множество шагов для перемещения их к «своим» кластерам (см. рис. 4).

Рис. 4. Обучение сети Кохонена со скоростью 0,01 (107 эпох)

Следующая модификация алгоритма обучения состоит в постепенном уменьшении скорости обучения. Это позволяет быстро приблизиться к «своим» кластерам на высокой скорости и произвести доводку при низкой скорости. Для этого метода необходимым является требование, чтобы последовательность скоростей обучения образовывала расходящийся ряд, иначе остановка алгоритма будет достигнута не за счет выбора оптимальных ядер, а за счет ограниченности точности вычислений. На рис. 5 приведены состояния сети Кохонена при использовании начальной скорости обучения 0,5 и уменьшения скорости в соответствии с натуральным рядом (1, ½, ⅓, …). Уменьшение скорости обучения производилось после каждой эпохи. Из графика изменения суммы квадратов изменений координат ядер видно, что этот метод является лучшим среди рассмотренных. На рис. 6 приведены результаты применения этого метода в случае неудачного начального положения ядер. Распределение объектов выбрано то же, что и на рисунке 4 — два класса по 8 объектов, равномерно распределенных в интервалах [π/4,3 π/4] и [5π/4, 7π/4].