С точки зрения математики, задача обучения нейронной сети является задачей минимизации множества функций многих переменных. Речь идет именно о неструктурированном множестве функций, зависящих от одних и тех же переменных. Под переменными понимаются обучаемые параметры сети, а под функциями — оценки решения сетью отдельных примеров. Очевидно, что сформулированная выше задача является как минимум трудно разрешимой, а часто и просто некорректной.

Основная проблема состоит в том, что при оптимизации первой функции, значения других функций не контролируются. И наоборот, при оптимизации всех других функций не контролируется значение первой функции. Если обучение устроено по циклу — сначала оптимизация первой функции, потом второй и т. д., то после завершения цикла значение любой из функций может оказаться не меньше, а больше чем до начала обучения. Такой подход к обучению нейронных сетей привел к появлению различных методов «коррекции» данной трудности. Так, например, появилось правило, что нельзя «сильно» оптимизировать оценку отдельного примера, для того, чтобы при оптимизации сеть «не сильно» забывала остальные примеры. Возникли различные правила «правильного» перебора примеров и т. д. Наиболее ярким примером такого правила является случайный перебор примеров, рекомендованный для обучения сетей, обучаемых без учителя (сетей Кохонена [131, 132]). Однако все эти правила не гарантировали быстрого достижения результата. Более того, часто результат вообще не достигался за обозримое время.

Альтернативой всем правилам «малой оптимизации» и «правильного перебора примеров» является выработка единой функции оценки всего обучающего множества. Правила построения оценки обучающего множества из оценок отдельных примеров приведены в главе «Оценка и интерпретатор ответа».

В случае использования оценки обучающего множества, математическая интерпретация задачи приобретает классический вид задачи минимизации функции в пространстве многих переменных. Для этой классической задачи существует множество известных методов решения [48, 104, 143]. Особенностью обучения нейронных сетей является их способность быстро вычислять градиент функции оценки. Под быстро, понимается тот факт, что на вычисления градиента тратится всего в два-три раза больше времени, чем на вычисление самой функции. Именно этот факт делает градиентные методы наиболее полезными при обучении нейронных сетей. Большая размерность пространства обучаемых параметров нейронной сети (102–106) делает практически неприменимыми все методы, явно использующие матрицу вторых производных.