В этой главе давайте отложим в сторону лирические и понятные всем отступления про обстановку в стране в то время. Мои рассуждения об этом субъективны, кто-то может соглашаться с ними, кто-то, наоборот, считать те времена образцом для подражания на фоне современной криминализации страны. В этой книге я старался следовать криптографически-философскому принципу Шеннона: в шифре чередовать не похожие друг на друга операции перемешивания и сдвига. В качестве операций сдвига – главы, отображающие общую ситуацию в СССР и в КГБ в те, теперь уже далекие времена, а в роли перемешивания выступают главы, в которых много говорится о математике, криптографии или программировании. Сейчас начнется очередная «перемешивающая» глава.

Шифратор «Ангстрем-3» был построен в полном соответствии с этим принципом Шеннона: регистр сдвига над Z/256 (операции сдвига), усложненный подстановкой из S256, типичным перемешивающим преобразованием. Перемешивающее преобразование дает столь необходимое в криптографии размножение различий в блоках открытого текста. В общефилософских книгах по криптографии, типа упоминавшейся выше книги Брюса Шнайера «Прикладная криптография», употребляется даже термин «лавинный эффект». Вот соответствующая цитата оттуда.

«… Это называется лавинным эффектом. DES спроектирован так, чтобы как можно быстрее добиться зависимости каждого бита шифртекста от каждого бита открытого текста и каждого бита ключа.»

Насколько я представляю себе DES, нигде, ни в одной книге, не было дано точных математических оценок этого «лавинного эффекта». DES так спроектирован и все. А почему он так спроектирован? Остается лишь догадываться, да строить статистические эксперименты, которые подтверждают: да «лавинный эффект» безусловно есть.

Вся прелесть «Ангстрема-3» в том, что в нем для оценки подобного «лавинного эффекта» на 4 факультете и в Спецуправлении еще в конце 70-х годов был разработан строгий математический аппарат, опирающийся на алгебру, на теорию групп, колец и полей. Об этих результатах я уже упоминал в предыдущей главе, посвященной шифрам на новой элементной базе, вот, вкратце, их суть.

1. В шифрах, использующих операции в кольце Z/256 и подстановки П из S256, лавинный эффект определяется матрицей частот встречаемости разностей переходов ненулевых биграмм P(П) размера 255x255.

2. Лавинный эффект будет тем лучше, чем меньше нулей в этой матрице. Хорошими следует считать такие подстановки, матрицы которых, возведенные в квадрат, не содержат нулей.

3. При случайном и равновероятном выборе подстановки из всей симметрической группы S256, общее количество подстановок в которой составляет огромную величину 256! – произведение всех чисел от 1 до 256, вероятность выбрать хорошую подстановку стремится к 1.

4. Существуют примеры самых плохих подстановок, это линейные подстановки.

5. Теоретически подсчитано минимально возможное количество нулей в матрице P(П).

Вопрос же о том, существуют ли подстановки с минимально возможным числом нулей в матрице P(П), оставался открытым до конца 1983 года.

– Работайте дома. Если Вы будете часто здесь появляться, то диссертации не напишите.

Так напутствовал меня мой научный руководитель Б.А., который сам заканчивал 4 факультет в числе первых его выпускников, а сейчас уже защитил докторскую диссертацию и жил в мире групп, колец и полей. Это был бальзам на мою душу! Нет этого бессмысленного высиживания до 6 часов вечера, пустых разговоров ни о чем, нет смертельно опасной столовой-травиловки. Мысли раскрепощены, нет интеллектуального насилия, все проблемы, казавшиеся неразрешимыми, вдруг как-то сами стали успешно разрешаться. А что за проблемы?