Это утверждение достаточно очевидно, поскольку Ф – примитивный элемент поля GF(N+1), т.е. множество значений Ф,Ф2,…,ФN совпадает со множеством 1,2,…,N – мультипликативной группой поля GF(N+1), а логарифмирование – операция, обратная возведению в степень. Все проблемы с нулем подправляются вторым условием: П(х) = logФр, если Фx+roр=0.

Такие подстановки естественно назвать логарифмическими , а точку х0, при которой П(х0) = logФр – выколотой точкой логарифмической подстановки П.

Здесь и всюду далее нам будут встречаться два разных типа арифметических операций сложения и вычитания: в кольце Z/N и в поле GF(N+1). Операции в кольце Z/N будем обозначать обычными символами “+” и “-“, а операции в поле GF(N+1) – o и ㊀ соответственно.

Теорема 1.

Пусть П – логарифмическая подстановка, х1х2, х1,х2 ЄZ/N, i – произвольный ненулевой элемент кольца Z/N.

Тогда если ни одна из точек х1+i,x1,х2+i,x2 не является выколотой, то П(х1+i)- П(x1) П(х2+i)- П(x2).

Доказательство.

Предположим, что П(х1+i)- П(x1)= П(х2+i)- П(x2), тогда ФП(х1+i)- П(x1)=ФП(х2+i)- П(x2).

Поскольку все точки не являются выколотыми, то отсюда вытекает, что (Фх1+i+roр)(Фх2+roр)=(Фх2+i+roр)(Фх1+roр).

Раскрывая скобки и сокращая одинаковые члены в левой и правой частях равенства, получаем

р (Фx1+i+roФx2+r)= р(Фx2+i+roФx1+r)

Поскольку р – ненулевой элемент, то отсюда вытекает, что

Фx1+r(Фi㊀ 1)= Фx2+r(Фi㊀ 1)

Поскольку i – произвольный ненулевой элемент Z/N, а Ф – примитивный элемент GF(N+1), то Фi1, откуда вытекает, что х1=х2.■

Теорема 2.

Пусть П – логарифмическая подстановка.

Тогда для любого ненулевого значения iЄZ/N{0