Рассмотрим применение метода Зейделя для нахождения приближенного решения нашей разностной задачи (*)

,(1`) - (4`).

В данном случае неизвестными являются

U

ij

= U(

x

i

,

y

j

)

где

x

i

=

ih

x

y

j

=

jh

y

при чём h

x

=

a

/

N

,

h

y

=

b

/

M

это есть шаг сетки по x

и по усоответственно , а N

и Мсоответственно количество точек разбиения отрезков [

0

,

а]

и [0

,

b

]

Пользуясь результатами предыдущего раздела запишем уравнение

2

D

U

=

f

как разностное уравнение. И упорядочим неизвестные естественным образом по строкам сетки W

, начиная с нижней строки.

1

U

i

-2

j

- 4 + 4

U

i

-1

j

+ 6 - 8 + 6

U

ij

- 4 + 4

U

i

+1

j

+ 1

U

i

+2

j

+ 2

U

i

-1

j

-1

-

4

4 2 2

4 2 2 4 4 2 2 4 2 2

h

x

h

x

h

x

h

y

h

x

h

x

h

y

h

y

h

x

h

x

h

y

h

x

h

x

h

y

- 4 + 4

U

ij

-1

+ 2

U

i

+1

j

-1

+ 2

U

i

-1

j

+1

- 4 + 4

U

ij

+1

+ 2

U

i

+1

j

+1

+ 1

U

ij

-2

+

2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4

h

x

h

y

h

y

h

x

h

y

h

x

h

y

h

x

h

y

h

y

h

x

h

y

h

y

+ 1 U

ij+2

=

f

ij

для i=1 . N

-1,

j

=1 .

M

-1

4

h

y

и U

удовлетворяет краевым условиям (1

`

)

- (4`),

так как в каждом уравнении связаны вместе не более 13 неизвестных то в матрице Аотличны от нуля не более 13-элементов в строке. В соответствии со вторым разделом перепишем уравнение:

(

k

+1) (

k

+1) (

k

+1) (

k

+1)

6 - 8 + 6

U

ij

= - 1

U

ij

-2

- 2

U

i

-1

j

-1

+ 4 + 4