В данном разделе приведено доказательство теоремы о числе линейно независимых образов в пространстве k- х тензорных степеней эталонов.

При построении тензорных сетей используются тензоры валентности k следующего вида:

(13)

где aj — n- мерные вектора над полем действительных чисел.

Если все вектора ai=a , то будем говорить о k- й тензорной степени вектора a , и использовать обозначение a ⊗k. Для дальнейшего важны следующие элементарные свойства тензоров вида (13).

1. Пусть

и

, тогда скалярное произведение этих векторов может быть вычислено по формуле

(14)

Доказательство этого свойства следует непосредственно из свойств тензоров общего вида.

2. Если в условиях свойства 1 вектора являются тензорными степенями, то скалярное произведение имеет вид:

(15)

Доказательство непосредственно вытекает из свойства 1.

3. Если вектора a и b ортогональны, то есть (a ,b ) = 0, то и их тензорные степени любой положительной валентности ортогональны.

Доказательство вытекает из свойства 2.

4. Если вектора a и b коллинеарны, то есть b = λa , то a ⊗k=λka ⊗k.

Следствие.

Если множество векторов

содержит хотя бы одну пару противоположно направленных векторов, то система векторов

будет линейно зависимой при любой валентности k .

5. Применение к множеству векторов

невырожденного линейного преобразования B

в пространстве R

n эквивалентно применению к множеству векторов

линейного невырожденного преобразования, индуцированного преобразованием B

, в пространстве

.

Сюръективным мультииндексом α(L

) над конечным множеством L

назовем k- мерный вектор, обладающий следующими свойствами:

1. для любого i L

существует j ∈1, …, k такое, что αj=i ;

2. для любого j ∈1, …, k существует i ∈L

такое, что αj=i .

Обозначим через d (α(L

),i ) число компонент сюръективного мультииндекса α(L

) равных i , через |L

| — число элементов множества L,

а через Α(L) — множество всех сюръективных мультииндексов над множеством L

.

Предложение 1.

Если вектор a представлен в виде

, где βi — произвольные действительные коэффициенты, то верно следующее равенство

(16)

Доказательство предложения получается возведением

в тензорную степень k и раскрытием скобок с учетом линейности операции тензорного умножения.

В множестве

, выберем множество X следующим образом: возьмем все (n- 1)-мерные вектора с координатами ±1, а в качестве n- й координаты во всех векторах возьмем единицу.

Предложение 2.

Множество x является максимальным множеством n- мерных векторов с координатами равными ±1 и не содержит пар противоположно направленных векторов.

Доказательство. Из равенства единице последней координаты всех векторов множества X следует отсутствие пар противоположно направленных векторов. Пусть x — вектор с координатами ±1, не входящий в множество X, следовательно последняя координата вектора x равна минус единице. Так как в множество X включались все (n- 1) — мерные вектора с координатами ±1, то среди них найдется вектор, первые n- 1 координата которого равны соответствующим координатам вектора x со знаком минус. Поскольку последние координаты также имеют противоположные знаки, то в множестве X нашелся вектор противоположно направленный по отношению к вектору x . Таким образом множество X максимально.

Таким образом в множестве X содержится ровно 2n -1 вектор. Каждый вектор x ∈X можно представить в виде

, где I⊂1, …, n -1. Для нумерации векторов множества X будем использовать мультииндекс I. Обозначим через |I

| число элементов в мультииндексе I. Используя введенные обозначения можно разбить множество X на n непересекающихся подмножеств: P

i = xI

, |I

|=i ,