.

Теорема

. При k<n в множестве x⊗k линейно независимыми являются

векторов.

Для доказательства этой теоремы потребуется следующая интуитивно очевидная, но не встреченная в литературе лемма.

Лемма

. Пусть дана последовательность векторов

a 1,a 2=a ¹2+a ²2,a 3=a ¹3+a ²3,…,am =a ¹m +a ²m

таких, что (ai ,a ²j )=0 при всех i <j и (a ¹i,a ²i)=0, a ²i ≠0 при всех i , тогда все вектора множества ai линейно независимы.

Доказательство. Известно, что процедура ортогонализации Грама приводит к построению ортонормированного множества векторов, а все вектора линейно зависящие от предыдущих векторов последовательности обращаются в нулевые. Проведем процедуру ортогонализации для заданной последовательности векторов.

1. b 1=a 1/||a 1||

2. b 2=(a 2-(a 2,b 2))/||a 2-(a 2,b 1)b 1||. Причем a 2-(a 2,b 1)b 1 ≠ 0, так как (a 1, a ²2)=0, (a ¹2-((a 2,b 1)b 1,a ²2)=0 и a²2≠0.

…

j.

Причем

, так как (ai , a ²j )=0, при всех i<j ,

и a²j ≠0.

…

Доказательство теоремы

. Произведем линейное преобразование векторов множества x с матрицей

Легко заметить, что при этом преобразовании все единичные координаты переходят в единичные, а координаты со значением –1 в нулевые. Таким образом

.

По пятому свойству заключаем, что число линейно независимых векторов в множествах X и Y совпадает. Пусть 1≤m ≤k. Докажем, что y I

⊗k при |I

|=m содержит компоненту, ортогональную всем y J

⊗k, |J|≤m , J

≠I.

Из предложения 1 имеем

(17)

Представим (17) в виде двух слагаемых:

(18)

Обозначим первую сумму в (18) через y I0⊗k. Докажем, что y I

0⊗k ортогонален ко всем y J

⊗k, |J|≤m , J

≠I, и второй сумме в (18). Так как I

≠J

, I

⊄J

, существует q∈I

, q∉J.

Из свойств сюръективного мультииндекса следует, что все слагаемые, входящие в y I

0⊗k содержат в качестве тензорного сомножителя eq , не входящий ни в одно тензорное произведение, составляющие в сумме y J

⊗k. Из свойства 2 получаем, что (y J

⊗k, y I

0⊗k) = 0. Аналогично, из того, что в каждом слагаемом второй суммы L≠I

, I

⊄L

следует ортогональность y I

0⊗k каждому слагаемому второй суммы в (18) и, следовательно, всей сумме.

Таким образом y I

⊗k содержит компоненту y I

0⊗k ортогональную ко всем y J

⊗k, |J|≤m , J

≠I

и (y J

⊗k-y I

0⊗k). Множество тензоров Y

k= y I

⊗k, |I|≤k удовлетворяет условиям леммы, и следовательно все тензоры в Y

k линейно независимы. Таким образом, число линейно независимых тензоров в множестве не меньше чем

Для того, чтобы показать, что число линейно независимых тензоров в множестве x ⊗k не превосходит этой величины достаточно показать, что добавление любого тензора из Y

к Y

k приводит к появлению линейной зависимости. Покажем, что любой y I

⊗k при |I|>k может быть представлен в виде линейной комбинации тензоров из Y

k . Ранее было показано, что любой тензор y I⊗k может быть представлен в виде (17). Разобьем (17) на три суммы:

(19)

Рассмотрим первое слагаемое в (19) отдельно.

Заменим в последнем равенстве внутреннюю сумму в первом слагаемом на тензоры из Y

k :

(20)

Преобразуем второе слагаемое в (19).

(21)

Преобразуя аналогично (21) второе слагаемое в (20) и подставив результаты преобразований в (19) получим