Пусть Y

i

=

Y

(

i

)

сеточная функция дискретного аргумента i

. Значения сеточной функции Y

(

i

)

в свою очередь образуют дискретное множество. На этом множестве можно определять сеточную функцию, приравнивая которую к нулю получаем уравнение относительно сеточной функции Y

(

i

)

- сеточное уравнение. Специальным случаем сеточного уравнения является разностное уравнение.

Сеточное уравнение получается при аппроксимации на сетке интегральных и дифференциальных уравнений.

Так дифференциальное уравнение первого порядка :

dU

=

f

(

x

) ,

x

> 0

dx

можно заменить разностным уравнением первого порядка :

Y

i+1

- Y

i

= f(x

i

) , x

i

= ih, i=0,1 .

h

или Y

i+1

=Y

i

+hf(x)

, где h

- шаг сетки v

={x

i

=ih, i=0,1,2 .}

. Искомой функцией является сеточная функция Yi

=

Y

(

i

)

.

При разностной аппроксимации уравнения второго поряда

2

d

U

=

f

(

x

)

2

dx

получим разностное уравнение второго порядка :

2

Y

i+1

- 2Y

i

+ Y

i+1

=

y

i

,

где

y

i

=h f

i

f

i

=

f

(

x

i

)

x

i

=

ih

Для разностной aппроксимации производных U

’,

U

’’,

U

’’’

можно пользоваться шаблонами с большим числом узлов. Это приводит к разностным уравнениям более высокого порядка.

Анологично определяется разностное уравнение относительно сеточной функции U

ij

=

U

(

i

,

j

)

двух дискретных аргументов . Например пятиточечная разностная схема “крест” для уравнения Пуассона

U

xx

+

U

yy

=

f

(

x

,

y

)

на сетке W

выглядит следующим образом :

U

i

-1

j

-

2

U

ij

+

U

i

+1

j

+

U

ij

-1

-

2

U

ij

+

U

ij

+1

=

f

ij

2 2

h

x

h

y

где h

x

- шаг сетки по X

h

y

- шаг сетки по Y

Сеточное уравнение общего вида можно записать так:

N

C

ij