U

j

= f

i

i=0,1 .N

j=0

Оно содержит все значения U

0

,

U

1

.

U

N

сеточной функции. Его можно трактовать как рзностное уравнение порядка N

равного числу узлов сетки минус единица.

В общем случае под i

- можно понимать не только индекс , но и мультииндекс т.е. вектор i

= (

i

1

.

i

p

)

с целочисленными компонентами и тогда :

С

ij

U

j

=f

i

i

Î

W

j

Î

W

где сумирование происходит по всем узлам сетки W

. Если коэффициенты С

ij

не зависят от i, тоуравнение называют уравнением с постоянными коэффициентами.

Аппроксимируем нашу задачу т.е. заменим уравнение и краевые условия на соответствующие им сеточные уравнения.

U=U(x,y)

Построим на области G

сетку W

. И зададим на W

сеточную функцию U

ij

=

U

(

x

i

,

y

j

)

,

где

x

i

=

x

0

+

ih

x

y

i

=

y

0

+

jh

y

h

x

= a/N ,

h

y

= b/M

и т.к.

x

0

=y

0

то

x

i

=ih

x

, y

i

=jh

y

, i=0 .N

j

=0 .

M

Найдём разностные производные входящие в уравнение

2

D

U

=

f

(т.е построим разностный аналог бигармонического уравнения).

Ux

ij

=

U

i

+1

j

-

U

ij

,

Ux

i

-1

j

=

U

ij

-

U

i

-1

j

h

x

h

x

Uxx

ij

=

U

i

-1

j

- 2

U

ij

+

U

i

+1

j

h

x

Рассмотрим Uxxxx

ij

как разность третьих производных :

Uxx

i-1j

- Uxx

ij

- Uxx

ij

- Uxx

i+1j

Uxxxx

ij

=

h

x

h

x

=

U

i

-2

j

- 4

U

i

-1

j